Теория перколяции

1. Теория перколяции

2. Область применения теории перколяции

2.1 Процессы гелеобразования

2.2 Применение теории перколяции для описания магнитных фазовых переходов

2.3 Применение теории перколяции к исследованию газочувствительных датчиков с перколяционной структурой

Заключение

Список литературы

Введение

Теории перколяции уже более пятидесяти лет. Ежегодно на западе публикуются сотни статей, посвященных как теоретическим вопросам перколяции, так и ее приложениям.

Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах. С точки зрения математика, теорию перколяции следует отнести к теории вероятности в графах. С точки зрения физика – перколяция – это геометрический фазовый переход. С точки зрения программиста – широчайшее поле для разработки новых алгоритмов. С точки зрения практика – простой, но мощный инструмент, позволяющий в едином подходе решать самые разнообразные жизненные задачи.

Данная работа будет посвящена основным положениям теории перколяции. Я рассмотрю теоретические основы перколяции, приведу примеры, поясняющие явление перколяции. Также будет рассмотрены основные приложения теории перколяции.

1. Теория перколяции

Теория перколяции (протекания) — теория, описывающая возникновение бесконечных связных структур (кластеров), состоящих из отдельных элементов. Представляя среду в виде дискретной решетки, сформулируем два простейших типа задач. Можно выборочно случайным образом красить (открывать) узлы решетки, считая долю крашенных узлов основным независимым параметром и полагая два крашенных узла принадлежащими одному кластеру, если их можно соединить непрерывной цепочкой соседних крашенных узлов.

Такие вопросы, как среднее число узлов в кластере, распределение кластеров по размерам, появление бесконечного кластера и доля входящих в него крашенных узлов, составляют содержание задачи узлов. Можно также выборочно красить (открывать) связи между соседними узлами и считать, что одному кластеру принадлежат узлы, соединенные цепочками открытых связей. Тогда те же самые вопросы о среднем числе узлов в кластере и т.д. составляют содержание задачи связей. Когда все узлы (или все связи) закрыты, решетка является моделью изолятора. Когда они все открыты и по проводящим связям через открытые узлы может идти ток, то решетка моделирует металл. При каком-то критическом значении  произойдет перколяционный переход, являющийся геометрическим аналогом перехода металл-изолятор.

Теория перколяции важна именно в окрестности перехода. Вдали от перехода достаточно аппроксимации эффективной среды перколяционный переход аналогичен фазовому переходу второго рода.

Явление перколяции (или протекания среды) определяется:

- Средой, в которой наблюдается это явление;

- Внешним источником, который обеспечивает протекание в этой среде;

- Способом протекания среды, который зависит от внешнего источника.

В качестве простейшего примера можно рассмотреть модель протекания (например электрического пробоя) в двумерной квадратной решетке, состоящей из узлов, которые могут быть проводящими или непроводящими. В начальный момент времени все узлы сетки являются непроводящими. Со временем источник заменяет непроводящие узлы на проводящие, и число проводящих узлов постепенно растет. При этом узлы замещаются случайным образом, то есть выбор любого из узлов для замещения является равновероятным для всей поверхности решетки.

Перколяцией называют момент появления такого состояния решетки, при котором существует хотя бы один непрерывный путь через соседние проводящие узлы от одного до противоположного края. Очевидно, что с ростом числа проводящих узлов, этот момент наступит раньше, чем вся поверхность решетки будет состоять исключительно из проводящих узлов.

Обозначим непроводящее и проводящее состояние узлов нулями и единицами соответственно. В двумерном случае среде будет соответствовать бинарная матрица. Последовательность замены нулей матрицы на единицы будет соответствовать источнику протекания.

В начальный момент времени матрица состоит полностью из непроводящих элементов:

перколяция гелеобразование газочувствительный кластер