Методы интегрирования

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Калмыцкий Государственный Университет


Лабораторный практикум для студентов

факультета математики и физики

Методы интегрирования


Элиста 2006

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1


Первообразная. Неопределенный интеграл


Опр1. Пусть функция Методы интегрирования определена на некотором конечном или бесконечном промежутке Методы интегрирования числовой оси R. Функция Методы интегрирования, определенная на этом промежутке, называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции Методы интегрирования на Методы интегрирования, если

функция Методы интегрированиянепрерывна на Методы интегрирования;

во всех внутренних токах x промежутка Методы интегрирования функция Методы интегрирования имеет производную и Методы интегрирования;

Пример1. Пусть Методы интегрирования. Тогда функция Методы интегрирования, является первообразной для Методы интегрирования так как:

функция Методы интегрирования определена на области определения функции Методы интегрирования (т.е. на R);

Методы интегрирования=Методы интегрирования=Методы интегрированияМетоды интегрирования.

Заметим, что функции вида Методы интегрированияМетоды интегрирования, Методы интегрирования и им подобные также являются первообразными для функции Методы интегрирования, т. к.

Функции Методы интегрированияМетоды интегрирования, Методы интегрирования непрерывны на R (области определения функцииМетоды интегрирования);

Методы интегрирования; Методы интегрирования.

Таким образом, если Методы интегрирования- первообразная функции Методы интегрированияна промежутке Методы интегрирования, то для любой постоянной Методы интегрирования функция Методы интегрирования тоже является первообразной функции Методы интегрирования на Методы интегрирования.

Опр 2. Совокупность всех первообразных функции Методы интегрирования, определенной на некотором промежутке Методы интегрирования, называется неопределенным интегралом функции Методы интегрирования на этом промежутке и обозначается Методы интегрирования. Символ Методы интегрированияназывается знаком интеграла, Методы интегрирования- подынтегральной функцией.

Если Методы интегрирования какая-либо первообразная функции Методы интегрирования на Методы интегрирования, то пишут Методы интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла:

Пусть функция Методы интегрирования непрерывна на промежутке Методы интегрирования и дифференцируема в его внутренних точках, тогда Методы интегрирования или, что тоже самое Методы интегрирования.

Пусть функция Методы интегрирования имеет первообразную на промежуткеМетоды интегрирования, тогда для любой внутренней точки промежутка Методы интегрирования имеет место равенство Методы интегрирования или, что то же Методы интегрирования.

Если функции Методы интегрирования и Методы интегрирования имеют первообразные на Методы интегрирования, то и функция Методы интегрирования также имеет первообразную на Методы интегрирования, причем Методы интегрирования.

Обобщение:Методы интегрирования.

Если функция Методы интегрирования имеет первообразную на промежутке Методы интегрирования и Методы интегрирования– число, то функция Методы интегрирования также имеет на Методы интегрирования первообразную, причем при Методы интегрирования справедливо равенство Методы интегрирования


Таблица основных интегралов

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Таблица дифференциалов:


Методы интегрирования


Вообще


Методы интегрирования


Этой таблицей можно пользоваться.

Так, например, выражение Методы интегрирования мы будем представлять в виде Методы интегрирования или выражения Методы интегрирования в виде Методы интегрирования и говорить, что подводим функцию Методы интегрирования или Методы интегрирования, соответственно, под знак дифференциала.

Замечание: Методы интегрирования.

Интегралы, получающиеся из табличных «линейным сдвигом» аргумента (т.е. интегралы вида Методы интегрирования, Методы интегрирования, Методы интегрирования,…) будем называть почти табличными интегралами.

Пример2.


Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

В-1


Методы интегрирования


В-2


Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №1


Дайте определение первообразной функции или интеграла от заданной функции Методы интегрированияв заданном промежутке.

Какова общая формула записи всех первообразных от заданной функции Методы интегрирования?

Что называется неопределенным интегралом от Методы интегрирования; как он обозначается? Что такое подынтегральное выражение и подынтегральная функция?

Сформулируйте свойства неопределенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения.

В чем разница между выражениями: Методы интегрирования и Методы интегрирования?

Рассмотрите таблицу основных интегралов. Покажите, как каждая из ее формул получается из соответствующей формулы для производной.

Докажите, что Методы интегрирования, где Методы интегрирования- постоянная, не равная нулю.

Чему равен неопределенный интеграл от суммы дифференциалов?

Чему равен интеграл Методы интегрирования, если известно, что Методы интегрирования?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2


Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям)


Замена переменной

Пусть функции Методы интегрирования и Методы интегрирования определены соответственно на промежутках Методы интегрирования

и Методы интегрирования; функция Методы интегрирования непрерывна на промежуткеМетоды интегрирования и дифференцируема в его внутренних точках. Тогда, если функция Методы интегрирования имеет первообразную Методы интегрирования на Методы интегрирования и, следовательно, Методы интегрирования то функция Методы интегрирования имеет на Методы интегрирования первообразную Методы интегрирования и поэтому Методы интегрирования

Замечание: то есть, полагаем Методы интегрирования;

Пример 1: Вычислить Методы интегрирования. Делаем замену Методы интегрирования.

Тогда Методы интегрированияМетоды интегрирования.Методы интегрирования

Пример 2: Вычислить Методы интегрированияДелаем замену Методы интегрированияМетоды интегрирования,

Тогда Методы интегрирования

Интегрирование по частям.

Если функции Методы интегрирования и Методы интегрирования непрерывны на некотором промежутке, дифференцируемы в его внутренних точках и на этом промежутке существует интеграл Методы интегрирования, то на нем существует и интегралМетоды интегрирования причем Методы интегрирования

Пример 3


Вычислить Методы интегрирования Полагаем Методы интегрированияТогда Методы интегрирования

Обычно в интегралах вида

Методы интегрирования

Методы интегрирования в качестве u берется Методы интегрирования, где Методы интегрирования- многочлен степени Методы интегрирования

Методы интегрирования

В интегралах вида

Методы интегрирования


в качестве Методы интегрирования берутся Методы интегрирования, Методы интегрирования-многочлен степени Методы интегрирования

3) Интегралы вида


Методы интегрирования


В интегралы указанного вида входит выражение Методы интегрирования, которое называют квадратным трехчленом.

Всякий квадратный трехчлен, у которого коэффициент при х в первой степени равен нулю, называется каноническим.

Он имеет вид Методы интегрирования.

Покажем на примерах, как квадратный трехчлен приводится к каноническому виду.

Пусть дан трехчлен Методы интегрирования. Дополняем его до полного квадрата. Чтобы избежать дробных слагаемых, поступаем так:


Методы интегрирования


Тогда

Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №2


На каком свойстве дифференциала основан метод замены переменной или подстановки?

При каких условиях этот метод применим?

Покажите, что правило интегрирования по частям есть следствие правила дифференцирования произведения функций.

Назовите классы интегралов, которые можно вычислить интегрированием по частям.

Как вычисляются интегралы вида Методы интегрирования, Методы интегрирования, Методы интегрирования, где Методы интегрирования- многочлен целой степени относительно х?

В чем особенности вычисления интегралов:


Методы интегрирования, Методы интегрирования?


Выведите рекуррентную формулу для вычисления интеграла


Методы интегрированияМетоды интегрирования

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3


Интегрирование рациональных выражений


Метод неопределенных коэффициентов

Так как из неправильной рациональной дроби можно выделить целую часть, интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегрированием правильных дробей (у которых степень числителя ниже степени знаменателя).

Остановимся на так называемых простых дробях. Это дроби следующих четырех типов:


Методы интегрирования

где Методы интегрирования = 2,3,4,…..;

Методы интегрирования-вещественные числа.

Рассмотрим интегралы от данных дробей Методы интегрированияI-IV:


Методы интегрирования

Методы интегрирования


Для интегрирования дробей вида III,IV в трехчлене Методы интегрирования выделим полный квадрат:


Методы интегрирования

Делаем подстановку:


Методы интегрирования и Методы интегрирования


В случае III имеем:

Если


Методы интегрирования, то


Методы интегрирования

Методы интегрирования.

Если

Методы интегрирования, то Методы интегрирования

Методы интегрирования


В случае IV будем иметь:


Методы интегрированияМетоды интегрирования


Первый интеграл вычисляется с помощью подстановки: Методы интегрирования, Методы интегрирования

Методы интегрирования,


а второй интеграл вычисляется с помощьМетоды интегрирования рекуррентной формулы. Пусть


Методы интегрирования, где Методы интегрирования=2,3,4…


Проинтегрируем интеграл Методы интегрирования по частям, положив


Методы интегрирования, Методы интегрирования


А затем, добавив и вычтя в числителе получившиеся под знаком интеграла функции и произведя деление так, как это указано ниже, получим

Методы интегрированияМетоды интегрирования,


то есть


Методы интегрированияМетоды интегрирования

Методы интегрирования,


m=2,3,4…. (*)

Интервал Методы интегрирования легко вычисляется. Формула (*) позволяет вычислить Методы интегрирования; зная же Методы интегрирования, по этой же формуле можно найти значение и Методы интегрирования, продолжая процесс дальше, можно найти и выражение для любого интеграла Методы интегрирования.


Методы интегрирования


Пример1


Методы интегрирования


Пусть Методы интегрирования и Методы интегрирования- многочлены с действительными коэффициентами.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в следующем: для данной дроби Методы интегрирования пишется разложение:


Методы интегрирования


в котором коэффициенты Методы интегрированиясчитаются неизвестными ( Методы интегрирования; Методы интегрирования;Методы интегрированияМетоды интегрирования). После этого равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты. При этом, если степень многочлена Методы интегрирования равна Методы интегрирования, то, вообще говоря, в числителе правой части равенства (**) после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени Методы интегрирования, т.е. многочлен с Методы интегрирования коэффициентами; число же неизвестных Методы интегрирования так же равняется Методы интегрирования: Методы интегрирования. Таким образом, мы получаем систему Методы интегрирования уравнений с Методы интегрирования неизвестными.


Методы интегрирования


раскроем скобки, располагаем степени Методы интегрирования по убывающей, получаем:

Методы интегрирования


Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Методы интегрирования:


Методы интегрирования


Решаем полученную систему, находим неизвестные коэффициенты:

Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №3


Приведите примеры интегралов, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции.

В чем заключается характерная особенность класса рациональных функций?

Перечислить четыре типа простых дробей.

Покажите, как вычисляется интеграл вида Методы интегрирования

Покажите подробно, как вычисляется интеграл вида Методы интегрирования и какую при этом выгодно применить подстановку.

Покажите подробно, как вычисляется интеграл вида Методы интегрирования и какие подстановки следует при этом применять.

В чем состоит применение метода неопределенных коэффициентов к разложению правильной дроби в сумму простых?

8) С помощью каких функций выражается в конечном виде интеграл

от любой рациональной функции?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4


Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского


Метод Остроградского позволяет чисто алгебраическим путем выделить рациональную часть интеграла.

Пусть имеем правильную дробь Методы интегрирования, которую будем предполагать несократимой, и пусть знаменатель ее Q разложен на простые множители


Методы интегрированияМетоды интегрирования (*)


Тогда интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей вида:


Методы интегрирования (1)


или


Методы интегрирования (2)

Если Методы интегрирования (или Методы интегрирования) больше единицы, то интегралы всех дробей группы (1) или (2) , кроме первой, преобразуются по формуле


Методы интегрирования


или

Методы интегрирования


Объединяя все результаты, окончательно придем к формуле вида


Методы интегрирования (3)


Рациональная часть интеграла Методы интегрирования, получена от сложения выделенных выше рациональных частей; следовательно, прежде всего она является правильной дробью, а ее знаменатель имеет разложение


Методы интегрирования


Что касается дроби Методы интегрирования, оставшейся под знаком интеграла, то она получилась от сложение дробей вида I и II (Л. Р.№2), так что она тоже правильная и Методы интегрирования. Очевидно , Q=Методы интегрирования (см.(*)).

(3)называется формулой Остроградского. Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме Методы интегрирования

Методы интегрирования (4)


Так как производная Методы интегрированиясодержит все простые множители, на которые разлагается, то Методы интегрирования является наибольшим общим делителем Методы интегрирования и Методы интегрирования, так что Методы интегрирования может быть определено по этим многочленам (последовательным делением). Тогда Методы интегрирования определяется простым делением Методы интегрирования на Методы интегрирования. Обратимся к определению числителей Методы интегрирования и Методы интегрирования в формуле (4).

Для этого используем метод неопределенных коэффициентов.

Перепишем (4) в виде:


Методы интегрированияМетоды интегрирования (5)


Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести к знаменателю Методы интегрирования, сохранив целым числитель. Именно,


Методы интегрирования, (6)


где Методы интегрирования означает частное Методы интегрирования. Освобождаясь от общего знаменателя Методы интегрирования, придем к тождеству двух многочленов (сравни (5) и (6)).

Пример. Методы интегрирования

Имеем


Методы интегрирования

Методы интегрирования.


Откуда


Методы интегрирования

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях , получим:


Методы интегрированияМетоды интегрирования


Таким образом,


Методы интегрирования=-Методы интегрирования

Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

В-1

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопрос к лабораторной работе №4


1. В чем заключается метод Остроградского и когда им пользуются?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5


Интегрирование тригонометрических функций


Дифференциалы вида


Методы интегрирования, (I)


где Методы интегрирования- рациональная функция от двух переменных, могут быть приведены к более простому виду с помощью подстановки


Методы интегрирования. (*)


При этом используется формулы из тригонометрии:


Методы интегрирования ; Методы интегрирования;


Тогда:

Методы интегрирования; Методы интегрирования; Методы интегрирования (**)


Подстановка (*) называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример1. Вычислить интеграл Методы интегрирования

Решение: Сделаем подстановку Методы интегрирования, пользуясь (**), получим

Методы интегрирования

=Методы интегрирования


В некоторых случаях можно использовать более простые подстановки. Рассмотрим эти случаи.

Замечание 1: Если целая или дробная рациональная функция Методы интегрирования не меняет своего значения при изменении знака у одного из аргументов, например, т. е. Методы интегрирования, то она может быть приведена к виду Методы интегрирования, содержащему лишь четные степени Методы интегрирования.

Если же, наоборот, при изменении знака Методы интегрирования функция Методы интегрирования так же меняет знак, т.е. Методы интегрирования, то она проводится к виду Методы интегрирования.

Рассмотрим три случая:

1. Пусть теперь Методы интегрирования меняет знак при изменении знака Методы интегрирования, тогда

Методы интегрирования

и рационализация достигается подстановкой Методы интегрирования.

2. Аналогично, если Методы интегрирования меняет знак при изменении знака Методы интегрирования, то

Методы интегрирования,


так что здесь целесообразна подстановка Методы интегрирования.

3. Предположим, наконец, что функция Методы интегрирования не меняет своего значения при одновременном изменении знаков Методы интегрирования и Методы интегрирования: Методы интегрирования. В этом случае, заменяя Методы интегрирования на Методы интегрирования будем иметь: Методы интегрирования. По свойству функции R , если изменить знаки Методы интегрирования и Методы интегрирования (отношение Методы интегрирования при этом изменяется):

Методы интегрирования а тогда, как мы знаем Методы интегрирования.

Поэтому


Методы интегрирования

=Методы интегрирования


Поэтому здесь используется подстановка Методы интегрирования.

Замечание 2. Каково бы ни было рациональное выражение Методы интегрирования, его можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных типов:


Методы интегрирования


Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака Методы интегрирования, второе меняет знак при изменении Методы интегрирования, а третье сохраняет значение при одновременном изменении знаков Методы интегрирования и Методы интегрирования. Разбив Методы интегрирования на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку Методы интегрирования, ко второму - подстановку Методы интегрирования и, наконец, к третьему - подстановку Методы интегрирования. Таким образом, для вычисления

Актуально: