Иррациональные уравнения

Тема моей курсовой работы − «иррациональные уравнения». Я выбрала её потому, что в учебном курсе, этому материалу посвящено мало часов, а в задачниках большое количество примеров посвящено именно этой теме.

Поэтому в изучении «иррациональных уравнений» я преследую цель - дать основные определение иррациональным уравнениям и теоремам. Определить какие бывают виды уравнений. Рассмотреть правила решения иррациональных уравнений.

Задачи моей работы – изучить научную и методическую литературу, подобрать и рассмотреть задачи для данной темы, включая олимпиадные.

В моей курсовой работе показаны решения иррациональных уравнений как стандартного метода, так и не стандартного метода решения. Я старалась как можно доступнее охватить проблемы этой темы. Конечно, всё нельзя учесть в курсовой работе, но я постараюсь ниже изложить основные моменты. Я хотела бы сделать данную работу вспомогательным пособием при изучении темы «Иррациональные уравнения».

1. Основные определения и теоремы

Определение 1. Уравнение – это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входит одна или несколько переменных, называемых неизвестными.

Пример 1. - является уравнением с одной неизвестной.

Пример 2. - является уравнением с двумя неизвестными.

Определение 2. Равенство вида называется уравнением с одной переменной .

Пример 1. - является уравнением с одной переменной х.

Далее рассматриваем уравнения с одной переменной.

Определение 3. Всякое значение переменной, при котором выражения и принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения или его решением.

Пример 1. Уравнение имеет два корня: -1 и 1.

Определение 4. Решить уравнение – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Пример 1. Уравнение имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной обращается в верное равенство, таким образом, ответ записывается в следующем виде:

О т в е т: {4}.

Пример 2. Уравнение не имеет действительных корней.

О т в е т:.

Пример 3. Уравнение имеет бесконечное множество решений, так как после тождественных преобразований получили равенство . Т.е данное уравнение есть тождественное равенство, верное для любого действительного значения .

О т в е т: .

Определение 5. Тождество (тождественное равенство) - это равенство двух выражений с переменными, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Тождествами считаются и верные числовые равенства, а также равенства, превращающиеся в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых эти выражения определены.

Пример 1. Равенство , справедливо для всех числовых значений и в, является тождественным.

Пример 2. Равенство 2=2 тождество.

Определение 6. Тождественное преобразование выражения – это замена выражения на тождественно равное ему выражение, т. е. равное для всех числовых значений входящих в него переменных.

К тождественным преобразованиям относятся, например, приведение подобных слагаемых; разложение на множители; приведение алгебраических дробей к общему знаменателю; разложение их на элементарные дроби и другие.

Определение 7. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Пример 1. - иррациональное уравнение (переменная содержится под знаком радикала).

Пример 2. иррациональное уравнение (переменная содержится под знаком возведения в дробную степень).

Определение 8. Областью определения уравнения (или областью допустимых значений переменной - ОДЗ) называют множество всех тех значений переменной , при которых и выражение , и имеют смысл.

Пример 1. Выражение ( и определены при всех . Значит, ОДЗ: .

Пример 2.. Выражение не определено при , а выражение не определено при .

Значит, ОДЗ: .

Пример 3. . Корень четной степени имеет смысл лишь при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, одновременно должны выполняться условия: т.е. ОДЗ:

Определение 9. Пусть даны уравнения: (1), (2).

Если каждый корень уравнения (1) является одновременно корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1). Следствие обозначается следующим образом:

Пример 1.

В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение-следствие может иметь и такие решение, которые не являются корнями исходного уравнения, так называемые, «посторонние» корни. Чтобы выявить и отсеять «посторонние» корни, обычно поступают так: все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Рассмотрим примеры преобразований, которые могут привести к расширению ОДЗ, т.е. к появлению «посторонних» корней.

1. Замена уравнения уравнением

Если при некотором значении , равном , верно равенство , то верным является также равенство . Значит, уравнение является следствием исходного уравнения. При этом может существовать такое значение , равное , при котором и . Тогда число , являющееся корнем уравнения , не является корнем исходного уравнения, т.к. при исходное уравнение не имеет смысла.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. . Тогда .

Проверка.

При знаменатель уравнения не обращается в ноль, а при - обращается. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень: -10.

О т в е т: .

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Пусть даны два уравнения (1) и . Если - корень первого уравнения, то верно равенство . Из равенства двух чисел вытекает равенство их квадратов, т.е. , а это означает, что - корень уравнения (2). Значит из уравнения (1) следует уравнение (2).

В то же время из равенства квадратов чисел не следует равенство этих чисел (числа могут быть противоположенными). Поэтому из уравнения (2) не следует уравнение (1). Отсюда вытекает, что если при решении уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в квадрат, то нужно повести дополнительное исследование, позволяющее исключить «посторонние» корни, если они появились.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат.

; .Тогда , .

Проверка.

Если , то , равенство не верно, следовательно, -1- не является корнем исходного уравнения.

Если , то 4=4, равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: 4.

О т в е т: {4}.

3. Выполнение в одной части (или в обеих частях) уравнения тождественных преобразований, приводящих к расширению области определения равнения.

Если некоторое тождественное преобразование привело к расширению области определения уравнения, то получаем уравнения - следствие. При этом могут существовать такие значения переменной, которые являются корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Выполнив приведение подобных слагаемых, получим: . Тогда , .

Проверка.

Если , то выражение не имеет смысла.

Если , то , равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:5.

О т в е т: {5}.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. или . Тогда , .

Проверка.

Если , то выражение не имеет смысла.

Если , то , равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:-2.

О т в е т: {-2}.

Если при решении уравнения мы заменили его уравнением - следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Рассмотрим уравнение (3) и умножим обе части его на одно и тоже выражение , имеющее смысл при всех значениях . Получим уравнение: (4), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения .

Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение не имеет корней. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если обе части уравнения умножить на , то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Если уравнение не имеет корней, то полученное уравнение равносильно исходному (если область допустимых значений не уже области допустимых значений переменной данного уравнения).

Пример 1. .

Заметим, что подобное преобразование, т.е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) делением обеих частей уравнения (4) на выражение , как правило, недопустимо, поскольку можно привести к потери корней, в этом случае могут «потеряться» корни уравнения .

Пример 2. Уравнение имеет два корня: 3 и 4.

Деление обеих частей уравнения на приводит к уравнению , имеющий только один корень 4, т.е. произошла потеря корня.

Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение: (5), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения . Ясно, что уравнения (3) и (5) равносильны, если у «постороннего» уравнения нет корней.

Пример 3. Уравнение имеет корень 4. Если обе части этого уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение , имеющие два корня: -2 и 4. Значит, уравнение - следствие уравнения . При переходе от уравнения к уравнению появился «посторонний» корень: -2.

Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Пример 1. .

При решении иррационального уравнения чаще всего стараются заменить его более простым, но равносильным исходному. Поэтому важно знать равносильные преобразования.

Определение 10. Уравнение, имеющее одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Другими словами два уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают. Равносильность обозначается следующим образом: .

Пример 1. Уравнения и равносильны, т.к. каждое из них имеет единственный корень – число 3. .

Пример 2. Уравнения и не равносильны, т.к. первое имеет только один корень: 6, а второе имеет два корня: 6 и -6.

Пример 3. Уравнения и равносильны, т.к. множества их решений пусты. .

Определение 11. Пусть даны уравнения и и некоторое множество М. Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяют второму уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяет первому уравнению, то эти уравнения называются равносильными на множестве М.

Пример 1. и не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, т.к. первое уравнение имеет единственный корень 1, а второе имеет два корня: -1 и 1. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных чисел, т.к. каждое из них имеет на этом множестве единственный корень: 1.

Отметим, что часто множество М совпадает либо с ОДЗ уравнения , либо множеством всех действительных чисел.

Имеется ряд теорем о равносильности уравнений.

Теорема 3. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

Пример 1..

Теорема 4. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1..

Теорема 5. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от ноля число, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. (обе части первого уравнения разделили на 2).

Теорема 6. Если в какой либо части уравнения выполнить тождественные преобразования, не меняющие области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному.

В школьной практике при решении иррациональных уравнений чаще всего используются два основных метода:

1) обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) введение новых (вспомогательных) переменных.

Эти методы будем считать стандартными. В обязательном школьном курсе обычно этими методами и ограничиваются. Однако иногда приходится применять нестандартные методы и искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

Типичная ошибка при решении иррациональных уравнений состоит в том, что школьники без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению «посторонних» корней.

При возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду, что если степень - не четное число, то получим равносильное уравнение, если же степень - четное число, то получим уравнение - следствие. Поэтому при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений.

Проверки можно избежать, если решать иррациональные уравнения с помощью равносильных замен. Для этого полезно знать следующие теоремы.

Теорема 7. Уравнение вида равносильно смешанной системе

Уравнение вида

Теорема 8. Уравнение вида или .

Уравнение вида .

Далее рассмотрим более подробно типы иррациональных уравнений и методы их решения.

2. Стандартные иррациональные уравнения

Как правило, в школьном курсе рассмотрение иррациональных уравнений сводится к разбору нескольких несложных примеров. Они в большинстве случаев решаются возведением в квадрат левой и правой частей уравнения. После решения обязательно выполняется проверка. Не обращается внимание на то, что иррациональные уравнения могут решаться и с использованием понятия равносильности. В данном параграфе представлены различные виды иррациональных уравнений, которые можно отнести к стандартным и решать одним из следующих методов, а именно:

1) метод перехода к уравнению - следствию с последующей проверкой полученных корней;

2) метод равносильного перехода к уравнению или к смешанной системе;

3) метод введения новой переменной.

2.1 Уравнения вида

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат..

О т в е т: {6}.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. В левой части исходного уравнения стоит арифметический квадратный корень – он по определению неотрицателен, а в правой части – отрицательное число.

Следовательно, уравнение не имеет корней.

О т в е т:.

Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида.

, если и не имеет решения, если .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части исходного уравнения в куб.

; .

О т в е т: {-5}.

Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида: .

2.2 Уравнения вида

Довольно часто при решении уравнений данного вида учащиеся используют следующую формулировку свойства произведения «Произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю». Заметим, что формулировку свойства произведения должна выглядеть следующим образом: « произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл».

Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида:

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

.

О т в е т: {-2;6}.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. В данном случае уравнение не имеет вида, указанного в заголовке. Следовательно, его необходимо преобразовать. Но сначала найдем ОДЗ переменной .

ОДЗ:

Преобразуем уравнение к виду

При решении уравнения учащиеся часто необоснованно делят обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (в данном случае, на ), что приводит к потере корня и приобретению «постороннего». Подобные уравнения, содержащие в обеих частях общий множитель, следует решать переносом всех членов в одну часть и разложением полученного выражения на множители.

Решим каждое уравнение из совокупности.

; .

(1).

Учитывая, что ОДЗ: получаем, что уравнение (1) равносильно совокупности:

. Тогда , не удовлетворяет условию

, данное уравнение не имеет корней.

Следовательно, совокупность примет следующий вид:

Вернемся к системе:

О т в е т: {-3;6}.

2.3 Иррациональные уравнения, которые решаются введением новой переменной

При решении различных видов уравнений: рациональных, тригонометрических, показательных часто используется метод введения новой переменной. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить только лишь в процессе каких либо преобразований. Бывает полезно ввести не одну, а две переменные. Видим типичные случаи введения новых переменных в иррациональных уравнениях.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную. Пусть , , где . Получаем, что .Тогда - не удовлетворяет условию

Выполним обратную замену.

О т в е т:{34}.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Уединение радикала и возведение в степень обеих частей уравнения привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что данное уравнение сводиться к квадратному. Действительно, умножим обе части заданного уравнения на 2, получим, что

Введем новую переменную. Пусть Получаем, что . Тогда - не удовлетворяет условию ,

Выполним обратную замену. Тогда ,

Т.к. исходное уравнение равносильно уравнению то проверка полученных корней не нужна.

О т в е т: {-2;3,5}.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение.

Введем новую переменную. Пусть, а Получаем, что . Тогда - не удовлетворяет условию .

Выполним обратную замену. .

О т в е т:{1}.

2.4 Уравнения вида , ,

Данные уравнения можно решить при помощи основного метода решения иррациональных уравнений (возведение в квадрат обеих частей уравнения), но иногда их можно решить и другими методами.

Рассмотрим уравнение (1). Пусть - корень уравнения (1). Тогда справедливо числовое равенство . Найдем разность чисел и , обозначив ее , и запишем данное равенство в виде (2).

Используя, что , запишем равенство (2) в виде . Данное равенство означает, что число есть корень уравнения (3).

Таким образом, уравнение (3) является следствием уравнения (1). Складывая эти два уравнения и умножая полученное уравнение на а, получим уравнение (4), также являющееся следствием уравнения (1). Возведя уравнение (4) в квадрат и решив полученное уравнение, надо выполнить проверку найденных корней, т.е. проверить, являются ли его корни корнями уравнения (1).

Замечание. Отметим, что точно также доказывается, что уравнение (4) есть следствие уравнения .

Пример 1. Решить уравнение (5).

Решение. Разность подкоренных выражений и есть

. ,

то уравнение (6) является следствием исходного уравнения. Тогда, складывая уравнения (5) и (6), получим уравнение (7), также являющееся следствием исходного уравнения (5). Возведем обе части уравнения (6) в квадрат, получим уравнение (8), также являющееся следствием исходного уравнения. Решая уравнение (8), получаем, что ,

Проверкой убеждаемся, что оба этих числа являются корнями исходного уравнения.

О т в е т:.

Замечание. Уравнение вида можно решать умножением обеих частей уравнения на некоторое выражение, не принимающее значение ноль (на сопряженное левой части уравнения т.е.

Пример 2. Решить уравнение (8).

Решение. Т.к. , то умножим обе части уравнения на выражение , являющееся сопряженным левой части уравнения (8). . После приведения подобных слагаемых получаем уравнение (9), равносильное исходному, т.к. уравнение действительных корней не имеет. Складывая уравнения (8) и (9) получаем, что . Тогда

О т в е т:.

Замечание. Также уравнения вида можно решать с помощью ОДЗ уравнения и равносильных переходов от одних уравнений к другим.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.

ОДЗ:Следовательно,

На ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому после возведения в квадрат получим уравнение: , равносильное для уравнению

Иногда решения уравнения можно найти, решая его на разных числовых промежутках.

Для любого имеем , а . Следовательно, среди нет решений уравнения .

Для имеем . Следовательно, для . . Тогда . Т.к. , то является корнем уравнения , равносильному уравнению для этих х.

О т в е т: .

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Преобразуем исходное уравнение.

Возведем обе части данного уравнения в квадрат.

Проверка показывает, что 5 является корнем исходного уравнения.

Замечание. Иногда значительно проще можно решать уравнения вида , если воспользоваться свойствами монотонности функций, а именно тем, что сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, и всякая монотонная функция каждое свое значение принимает, лишь при одном значении аргумента. Действительно, функции и - возрастающие. Следовательно, их сумма - возрастающая функция.

Значит, исходное уравнение, если имеет корень, то только один. В этом случае, учитывая, что , подбором легко найти, что 5 является корнем исходного уравнения.

О т в е т:{5}.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Если обе части исходного уравнения возвести в квадрат, то получится довольно сложное уравнение. Поступим по-другому: преобразуем уравнение к виду:

Решим неравенство системы.

Решением системы является множество:

.

Решим уравнение системы.

Убеждаемся, что 2 принадлежит множеству решений неравенства (рис.1).

Замечание. Если решать данное уравнение возведением обеих частей в квадрат, то необходимо выполнить проверку. 2 - целое число, поэтому при выполнении проверки трудностей не возникает. А что касается значения , то подстановка его в исходное уравнение приводит к весьма сложным вычислениям. Однако такой подстановки можно избежать, если заметить, что при этом значении правая часть уравнения принимает отрицательное значение: . Тогда как левая часть уравнения отрицательной быть не может. Таким образом, не является корнем уравнения - следствия данного уравнения. Тем более, это значение не может быть корнем исходного уравнения. Итак, корень уравнения - число 2.

О т в е т:{2}.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.

ОДЗ:

Следовательно,

Для любых значений из ОДЗ, удовлетворяющих условию , т.е. для из промежутка левая часть уравнения отрицательна, а первая – неотрицательна, значит, ни одно из этих решением уравнения быть не может.

Пусть . Для таких обе части уравнения неотрицательны, и поэтому оно равносильно на этом множестве уравнению: .

Введем новую переменную. . Получаем, что . Тогда - не удовлетворяет условию , .

Выполним обратную замену.

; ;

.

Тогда - не удовлетворяет условию ,

О т в е т: .

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.

ОДЗ:

Следовательно, что

Легко видеть, что , т.к. .

Разделим обе части уравнения на . Получаем, что

Преобразуем . Введем новую переменную. Пусть , а . Тогда уравнение примет вид: ; ; : . Тогда - не удовлетворяет условию , . Выполним обратную замену.

О т в е т: .

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Преобразуем исходное уравнение.

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат.

Тогда

Итак, проверка показывает, что -1,2 - не является корнем исходного уравнения, а 3 - является.

Замечание. Данное уравнение можно решать и с помощью равносильных переходов, но тогда его решении будет намного сложнее, чем приведенное выше.

О т в е т: {3}.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Заметим, что все квадратные трехчлены положительны относительно . Перепишем уравнение в виде:

Обозначим для краткости подкоренные выражения через соответственно. Умножим и разделим левую и правую часть уравнения на сопряженные сомножители. Получаем, что

Вернемся к