Практикум по предмету Математические методы и модели

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра «Экономика и инвестиции»

_

_

Габрин К.Э.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Семестровое задание

и методические указания к решению задач

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2000

УДК

ББК

Габрин К.Э., Математические методы и модели: Семестровое задание и методические рекомендации к решению задач. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. – 39 с.

Приведены задачи семестрового задания, методические указания к их решению, примеры вычислений, рекомендуемая литература и приложения.

Пособие предназначено для студентов специальностей 060811, 061101, 061120.

Табл. 12, прилож. 4, список лит. – 13 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией факультета «Экономика и управление».

Рецензент: Никифоров К.В.

Задача 1

Многофакторный регрессионный и корреляционный анализ

Варианты задач с 1 по 25 с указанием результативного y и факторных x₁, x₂ признаков приведены в табл. 1.

По выборочным данным, представленным в табл. 2 и табл. 3, исследовать на основе линейной регрессионной модели зависимость результативного признака от показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий.

Таблица 1

Варианты задач

Таблица 2

Обозначения и наименование показателей

производственно-хозяйственной деятельности предприятий

Таблица 3

Исходные данные для расчета

Методические указания к решению задачи 1

Множественный корреляционный анализ состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на ее основе оценок частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Диапазон изменения этих коэффициентов (-1;1).

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель. Диапазон изменения этого коэффициента (0;1).

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации; он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием остальных, входящих в модель.

Дополнительная задача корреляционного анализа (основная – в регрессионном) – оценка уравнения регрессии.

Исходной для анализа является матрица X размерности (nk), которая представляет собой n наблюдений для каждого из k факторов. Оцениваются: вектор средних X_ср, вектор среднеквадратических отклонений S и корреляционная матрица R:

X_ср=(x_1ср, x_2ср,…, x_jср,…, x_kср);

S=(s₁, s₂, …, s_j, …, s_k);

	1	r12	…	r1k
R=	r21	1	…	r2k
	…	…	…	…
	rk1	rk2	…	1

где r_jl=((x_ij-x_jср)(x_il-x_lср))/(ns_js_l), j,l=1,2,…,k;

s_j=(((x_ij- x_jср)²)/n)^0,5, i=1…n;

x_il – значение i-того наблюдения j-того фактора.

Кроме того, находятся оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции порядка k-2 между факторами X₁ и X₂ равен

r_12/3,4,…,k=-R₁₂/(R₁₁R₂₂)^0,5,

где R_jl – алгебраическое дополнение элемента r₁₂ матрицы R.

Множественный коэффициент корреляции порядка k-1 фактора X₁ (результативного признака) определяется по формуле

r_1/2,3,…,k= r₁=(R₁₂/R₁₁)^0,5,

где R₁₂ – определитель матрицы R.

Значимость парных и частных коэффициентов корреляции проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

t_набл=(n-l-2)^0,5r/(1-r²)^0,5,

где r – оценка коэффициента, l – порядок коэффициента корреляции (число фиксируемых факторов).

Коэффициент корреляции считается значимым (т.е. гипотеза H₀: =0 отвергается с вероятностью ошибки ), если t_набл>t_кр, определяемого по таблицам t-распределения (Приложение 1) для заданного  и =n-l-2.

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата – коэффициента детерминации) определяется по F-критерию. Наблюдаемое значение, например, для ²_1/2,…k, находится по формуле

F_набл= (r²_1/2,…k/(k-1))/((1-r²_1/2,…k)/(n-k)).

Множественный коэффициент корреляции считется значимым, если F_набл>F_кр(, k-1, n-k), где F_кр определяется по таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных , ₁=k-1 и ₂=n-k.

Множественный регрессионный анализ – это статистический метод исследования зависимости случайной величины y от переменных x_j, рассматриваемых как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения x_j. Предполагается, что y имеет нормальный закон распределения с условным мат. ожиданием y=(x₁,x₂,…,x_k), являющимся функцией от аргументов x_j, и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией ². Наиболее часто встречаются линейные уравнения регрессии вида y=₀+₁x₁+₂x₂+…+_jx_j+…+_kx_k, линейные относительно неизвестных параметров _j (j=0,1,…,k) и аргументов x_j.

Коэффициент регрессии _j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y, если переменную x_j увеличить на единицу ее измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид

Y=X+,

где Y – случайный вектор-столбец размерности (n1) наблюдаемых значений результативного признака (y₁,y₂,…,y_n); X – матрица размерности (n (k+1)) наблюдаемых значений аргументов. Элемент матрицы x_ij рассматривается как неслучайная величина (i=1,2,…,n; j=0,1,2,…,k; x_оi=1); – вектор-столбец размерности ((k+1)1) неизвестных коэффициентов регрессии модели;  – случайный вектор-столбец размерности (n1) ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора независимы между собой, имеют нормальный закон распределения с нулевым мат. ожиданием и неизвестной дисперсией. На практике рекомендуется, чтобы n превышало k как минимум в три раза.

Находится оценка уравнения регрессии вида

y*=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_jx_j+…+b_kx_k.

Cогласно методу наименьших квадратов вектор оценок коэффициентов регрессии определяется по формуле

b=(X^TX)^-1X^TY,

где

X^T – транспонированная матрица X;(X^TX)^–1– матрица, обратная к матрице X^TX.

Оценка ковариационной матрицы коэффициентов регрессии вектора определяется из выражения

S*(b)=S*²(X^TX)^–1,

где S*²=(Y-Xb)^T(Y-Xb)/(n-k-1).

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеем

S*²_b(j–1)= S*²((X^TX)^–1)_jj для j=1,2,…,k, k+1.

Значимость уравнения регрессии, т.е. гипотеза H₀: =0 (₀=₁=…=_k=0), проверяется по F-критерию, наблюдаемое значение которого определяется по формуле

F_набл=(Q_R/(k+1))/(Q_ост/(n-k-1)),

где Q_R=(Xb)^T(Xb), Q_ост=(Y-Xb)^T(Y-Xb).

По таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных , ₁=k+1, ₂=n-k-1 находят F_кр.

Гипотеза H₀ отклоняется с вероятностью , если F_набл>F_кр. Из этого следует, что уравнение является значимым, т.е. хотя бы один из коэффициентов регрессии отличен от нуля.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H₀: _j=0, где j=1,2,…,k, используют t-критерий и вычисляют t_набл(b_j)=b_j/S*_bj. По таблице t-распределения (Приложение 1) для заданных , =n-k-1 находят t_кр.

Гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки , если t_набл >t_кр. Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии _j значим, т.е. _j  0. В противном случае коэффициент регрессии незначим и соответствующая переменная в модель не включается. После этого реализуется алгоритм пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из незначимых переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение t_набл. После этого вновь проводят регрессионный анализ с числом факторов, уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии со значимыми коэффициентами.

Для решения задачи требуется:

1. Найти оценку уравнения регрессии вида y=b₀+b₁x₁+b₂x₂.

2. Проверить значимость уравнения регрессии при =0,05 или =0,01.

3. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

4. Дать экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии и оценить адекватность полученной модели по величине абсолютных e_i и относительных _i отклонений.

5. При необходимости перейти к алгоритму пошагового регрессионного анализа, отбросив один из незначительных коэффициентов регрессии.

6. Построить матрицы парных и частных коэффициентов корреляции.

7. Найти множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

8. Проверить значимость частных и множественных коэффициентов корреляции.

9. Провести содержательный экономический анализ полученных результатов.

Пример решения задачи 1

По данным годовых отчетов десяти (n=10) предприятий (табл.4) провести анализ зависимости себестоимости товарной продукции y (млн. р.) от объема валовой продукции x₁ (млн. р.) и производительности труда x₂ (тыс. р. на чел.).

Таблица 4

Исходная информация для анализа и результаты расчета

Окончание табл. 4

Решение

1. Определение вектора оценок коэффициентов

уравнения регрессии

Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии y*=b₀+b₁x₁+b₂x₂ производится по уравнению b=(X^TX)^–1X^TY:

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид

y*=2,88142+0,71892x₁-1,51303x₂.

2. Проверка значимости уравнения y*=2,88142+0,71892x₁-1,51303x₂.

а) Q_R=(Xb)^T(Xb)=y*_i =530,224365;

б) Q_ост=(Y-Xb)^T(Y-Xb)=e²_i =3,472465;

в) несмещенная оценка остаточной дисперсии:

S*²= Q_ост/(n-3)=3,472465 / 7 = 0,496066;

г) оценка среднеквадратичного отклонения:

S*= 0,7043195;

д) проверяем на уровне =0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀: =0 (₀=₁=₂=0). Для этого вычисляем

F_набл=(Q_R/(k+1))/(Q_ост/(n-k-1))=(530,224365 / 3))/(3,472465 / 7))=356,32776.

Далее по таблице F-распределения для =0,05, ₁=k+1=3, ₂=n-k-1=7 находим F_кр=4,35. Так как F_набл>F_кр (356,32776>4,35), то гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки 0,05. Т.о. уравнение является значимым.

3. Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии

а) Найдем оценку ковариационной матрицы вектора :

Так как на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов уравнения регрессии, то получим следующие несмещенные оценки этих дисперсий:

S*²_b0=5,52259; S*²_b1=0,00267; S*²_b0=2,21466;

S*_b0=2,35002; S*_b1=0,05171; S*_b2=1,48818.

Найдем оценку корреляционной матрицы вектора . Элементы этой матрицы определяются по формуле:

r_j-1l-1=cov*(b_j-1,b_l-1)/(S*_bj-1S*_bl-1),

где cov*(b_j-1,b_l-1) – элементы матрицы S*(b), стоящие на пересечении j-той строки и l -того столбца ( j,l =1,2,3).

Корреляционная матрица вектора имеет вид:

Далее, для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H₀: _m=0 (m=1,2), по таблицам t-распределения для =0,05, =7 находим t_кр=2,365. Вычисляем t_набл для каждого из коэффициентов регрессии по формуле t_набл(b_j)=b_j/S*_bj:

t_набл(b₁)=b₁/S*_b1=0,71892/0,05171=13,903

t_набл(b₂)=b₂/S*_b2=1,51303/1,48818=1,01667.

Так как t_набл(b₁) > t_кр (13,903 > 2,365), t_набл(b₂) < t_кр(1,01667< 2,365), то коэффициент регрессии ₁0, а коэффициент регрессии ₂=0. Следовательно переходим к алгоритму пошагового регрессионного анализа.

4. Пошаговый регрессионный анализ

Будем рассматривать оценку нового уравнения регрессии вида

y*=b’₀+b’₁x₁. Вектор оценок b’ определим по формуле b=(X^TX)^–1X^TY, где

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид:

y*=0,52534+0,74861x₁.

Повторив далее вычисления по пп 2 и 3, определяем, что новая оценка уравнения регрессии и его коэффициент значимы при =0,05.

5. Нахождение матрицы парных коэффициентов корреляции

(на примере без исключения переменной)

а) находим вектор средних:

X_ср=(x_1ср; x_2ср; y_ср)=(7,5; 1,41; 6,14);

б) находим вектор среднеквадратических отклонений S=(s₁; s₂; s_y) по формуле s_j=(((x_ij - x_jср)²)/n)^0,5, i=1…n:

S=(5,22; 0,18; 3,91);

в) формируем корреляционную матрицу

где r₁₂=r₂₁=((x₁x₂)_ср-x_1срx_2ср)/(s₁s₂), r_yj=r_jy=((x_jy)_ср-x_jсрy_ср)/(s_js_y):

6. Расчет оценок частных коэффициентов корреляции

Оценки частных коэффициентов корреляции определяются по формулам:

r_12/y=(r₁₂-r_1yr_2y)/((1-r_1y²)(1-r_2y²))^0,5 =0,738;

r_1y/2=(r_1y-r₁₂r_y2)/((1-r₁₂²)(1-r_y2²))^0,5 =0,998;

r_2y/1=(r_1y-r₁₂r_y2)/((1-r₁₂²)(1-r_y2²))^0,5 =-0,762.

Составим матрицу частных коэффициентов корреляции:

Следует иметь в виду, что частный коэффициент корреляции может резко отличаться от соответствующего парного коэффициента и даже иметь противоположный знак. Любой из частных коэффициентов может быть равен нулю, в то время, как парный – отличен от нуля.

В данном примере r_12/y=0,738, а r₁₂=-0,565. Такое различие вызвано тесной связью объема валовой продукции (x₁) и себестоимостью товарной продукции (y): r_1y=0,997. В случае независимости величин частный и парный коэффициенты корреляции равны нулю.

7. Проверка значимости парных и частных

коэффициентов корреляции

Проверка осуществляется с помощью таблиц t-распределения Стьюдента.

Для r₁₂: t_набл=(10-2)^0,5(-0,565)/(1-(-0,565)²)^0,5=1,93683кр_(8;0,05)=2,306; гипотеза H₀: ₁₂=0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (t_набл=1,93683>t_кр(8;0,1)=1,86).

Для r_2y: t_набл=(10-2)^0,5(-0,612)/(1-(-0,612)²)^0,5=2,20621кр_(8;0,05)=2,306; гипотеза H₀: _2y=0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (t_набл=1,93683 > t_кр(8;0,1)=1,86).

Для r_1y: t_набл=(10-2)^0,50,997/(1-0,997²)^0,5=36,43263>t_кр(8;0,05)=2,306; гипотеза H₀: _1y=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_12/y: t_набл=(n-3)^0,50,738/(1-0,738²)^0,5=2,893542>t_кр(7;0,05)=2,365; гипотеза H₀: _12/y=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_1y/2: t_набл=(n-3)^0,50,998/(1-0,998²)^0,5=41,77023>t_кр(7;0,05)=2,365; гипотеза H₀: _1y/2=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_2y/1: t_набл=(n-3)^0,5(-0,762)/(1-(-0,762)²)^0,5=3,11324>t_кр(7;0,05)=2,365; гипотеза H₀: _2y/1=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

8. Расчет оценок множественных коэффициентов

корреляции и детерминации

Оценки множественных коэффициентов корреляции детерминации рассчитываются по формулам:

r_y/12 = (r_y1²+ r_y2²+ 2r_y1r_y2r₁₂)/(1-r₁₂²)(1-r_y2²))^0,5 =0,999;

r_y/12²=0,999²=0,997.

9. Проверка значимости множественных коэффициентов

корреляции и детерминации

Проверим гипотезу H₀: ²_y/12 =0 по F-критерию. Наблюдаемое значение находится по формуле:

F_набл= (r²_y/12/(k-1))/((1-r_y/12)/(n-k))=(0,997/(3-1))/((1-0,997)/(10-3))=1163.

По таблице F-распределения для =0,05, ₁=k-1=2, ₂=n-k=7 находим F_кр=4,74. Так как F_набл>F_кр, то гипотеза о равенстве ²_y/12 =0 отвергается.

Аналогично осуществляется проверка гипотезы _y/12=0 (в данном примере опущено).

Тем самым доказана значимость множественного коэффициента корреляции, что говорит о наличии зависимости y от x₁ и x₂, т.е. себестоимость действительно зависит от объема валовой продукции и производительности труда.

Литература к задаче 1

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей.–М.:Финансы и статистика, 1985

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных.–М.:Финансы и статистика, 1983

3. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.–М.:Высш.шк., 1988.

4. Шепелев И.Г. Математические методы и модели управления в строительстве.–М.:Высшая школа, 1980.

Задача 2

Динамическое программирование

Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготавливаемой тремя предприятиями, выделены капитальные вложения в объеме 700 млн.руб. Использование i-тым предприятием x_i млн. руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением нелинейной функции f_i(x_i).

Найти распределение капитальных вложений между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпус6ка продукции.

Исходные данные приведены в таблицах 5 и 6.

Таблица 5

Исходные данные

Таблица 6

Варианты исходных данных

Окончание табл. 6