Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Пытьев Ю.П.

Московский государственный университет, Москва, Россия

1. Введение

Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных(1) оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.

Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, (1-5), для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям(2) и оказались достаточно эффективными, (5-11).

Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, (13)) изображений, аналогичной классической колориметрии (12). Будем считать заданными детекторов излучения со спектральными чувствительностями j=1,2,...,, где l(0,¥) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e(l)0, lÎ(0,¥), далее называемой излучением, образуют вектор , w(×)=. Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов , lÎ(0,¥), и соответствующий суммарный сигнал назовем яркостью излученияe(×). Векторназовем цветом излученияe(×). Если цвет e(×) и само излучение назовем черным. Поскольку равенства и эквивалентны, равенство имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае - произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e(×) назовем белым и его цвет обозначим если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:

.

Векторы , и , , удобно считать элементами -мерного линейного пространства . Векторы f_e, соответствующие различным излучениям e(×), содержатся в конусе . Концы векторов содержатся в множестве , где Ï - гиперплоскость .

Далее предполагается, что всякое излучение , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями все их выпуклые комбинации (смеси) Поэтому векторы в образуют выпуклый конус , а векторы .

Если то и их аддитивная смесь . Для нее

. (1)

Отсюда следует

Лемма 1.Яркость f_e и цвет j_eлюбой аддитивной смеси e(×) излучений e₁(×),...,e_m(×), m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых.

Подчеркнем, что равенство , означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e(×) и , как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e(×) на в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

Далее предполагается, что вектор w(×) таков, что в E можно указать базовые излучения , для которых векторы , j=1,...,, линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными, , j=1,...,. В таком случае излучениехарактеризуется лишь цветом, j=1,...,.

Для всякого излучения e(×) можно записать разложение

, (1*)

в котором - координаты в базисе ,

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - , где , , - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению e_j(×), i, j=1,...,. Матрица - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений неотрицательны и , j=1,...,n. При этом яркость и вектор цвета , , j=1,...,, (конец которого лежит в Ï) определяются координатами a_j и цветами излучений , j=1,...,, и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e(×).

В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: .

Заметим, что слагаемые в (1*), у которых a_j<0,(3) физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -a_j>0: . В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

Определим в скалярное произведение и векторы , биортогонально сопряженные с : , i,j=1,...,.

Лемма 2. В разложении (1*) , j=1,...,n, . Яркость , где , причем вектор y ортогонален гиперплоскости Ï, так как , i,j=1,...,n.

Что касается скалярного проиведения , то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов были координатами f_eв некотором ортонормированном базисе . В этом базисе конус . Заметим, что для любых векторов и, тем более, для , (4).

Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на плоскости R₂, или на сетке , спектральная чувствительность j-го детектора излучения, расположенного в точке ; - излучение, попадающее в точку . Изображением назовем векторнозначную функцию

(2**)

Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X. Цветное (спектрозональное) изображениеопределим равенством

, (2)

в котором почти для всех ,, - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что

.

Цветные изображения образуют подкласс функций лебеговского класса функций . Класс цветных изображений обозначим L_E,_n.

Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент называется цветным изображением, а условие

(2*)

условием физичности изображений f(×).

Если f(×) - цветное изображение (2), то , как нетрудно проверить, - черно-белое изображение (2), т.е. , . Изображение , назовем черно-белым вариантом цветного изображенияf(×), а цветное изображение , f(x)0, xÎX - цветом изображения f(×). В точках множества Â={xÎX: f(x)=0} черного цвета j(x), xÎÂ, - произвольные векторы из , удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f(×) будем также называть цветное изображение (×), имеющее в каждой точке Х ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x), xÎX, и белый цвет, (x)=(x)/b(x)=, xÎX.

3. Форма цветного изображения.

Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием , в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения в каждой точке при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке у вектора f(x) может измениться длина, но направление останется неизменным.

Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом jнет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x) в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого определим отображение A(×):, ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество поля зрения в точках которого изображение , имеет постоянный цвет .

Пусть при рассматриваемом изменении освещения и, соответственно, ; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A(j), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j. Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство влечет . Если - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A(j¢) и A(j) цвет изображения может оказаться одинаковым(5).

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

Для определения понятия формы цветного изображения f(×) на удобно ввести частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1), 2) , , то , ; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, , если . Отношение p интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии(2), а именно, означает, что изображения f(×) иg(×) сравнимы по форме, причем формаg(×) не сложнее, чем форма f(×). Если и , то f(×)и g(×) назовем совпадающими по форме (изоморфными), f(×)_~ g(×). Например, если f(×)и g(×) - изображения одной и той же сцены, то g(×), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f (×), если .

В рассматриваемом выше примере преобразования изображений , если между множествами A(j), и A¢(j¢), существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция , такая, что A¢(j¢(j))= A(j),, причем, если . В этом случае равенства и эквивалентны, и изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

Если же не взаимно однозначно, то A¢(j¢)=UA(j) и . В этом случае равенство влечет (но не эквивалентно) , передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в .

Пусть, скажем, g(×) - черно-белый вариант f(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=, xÎX. Если преобразование - следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f(×), g(×) - изображения одной и той же сцены, но в g(×), вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то . Пусть F- некоторая полугруппа преобразований , тогда для любого преобразования FÎF , поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f(×), то они, тем более, не будут отражены в g(×).

Формой изображения f(×) назовем множество изображений , форма которых не сложнее, чем форма f`(×), и их пределов в (черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство , содержащее . Если считать, что для любого изображения , то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости в в том смысле, что .

Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде здесь - индикаторные функции непересекающихся подмножеств А_i, i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых функции , , j=1,...,, i=1,...,N, непрерывны. Поскольку согласно лемме 2

, (3)

то цветное изображение f_e(×), такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве A_i, i=1,...,N. Для изображения , где , также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом A_i, если , - непрерывные функции.

Если, в частности, цвет и яркостьпостоянны наA_i, i=1,...,N, то это верно и для всякого изображения , если не зависит явно от . Для такого изображения примем следующее представление:

, (4)

его черно-белый вариант

(4*)

на каждом A_i имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4)

(4**)

не меняется на A_i и равен , i=1,...,N.

Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), , то форму изображения (4), имеющего на различных множествах А_i имеет несовпадающие яркости и различные цвета , определим как выпуклый замкнутый в конус:

. (4***)

v(a), очевидно, содержится в ×N мерном линейном подпространстве

, (4****)

которое назовем формой a(×) в широком смысле.

Форму в широком смысле любого изображения a(×), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах A_i ,i=1,...,N, определим как линейное подпространство, натянутое не вектор-функции Fa(×),FÎF, где F - класс преобразований , определенных как преобразования векторов a(x)®Fa(x) во всех точках xÎX; здесь F - любое преобразование . Тот факт, что F означает как преобразование , так и преобразование , не должен вызывать недоразумения.

Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(×) (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах А_i, i=1,…………..,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a(×)), если речь идет о форме в широком смысле.

Лемма 3. Пусть {А_i} - измеримое разбиение X: .

Изображение (3) имеет на каждом подмножествеA_i :

- постоянную яркостьи цвет , если и только если выполняется равенство (4);

- постоянный цвет, если и только если в (3) ;

- постоянную яркостьf_i , i=1,...,N, если и только если в (3) независит от, i=1,…...,N.

Доказательство . На множестве A_i яркость и цвет изображения (3) равны соответственно(6)

, , i=1,.…..,N.

Если выполнено равенство (4), то и от не зависят. Наоборот, если и , то и , т.е. выполняется (4).

Если , то цвет не зависит от . Наоборот, пусть не зависит от . В силу линейной независимости координаты j_(i)(x) не зависят от , т.е. и, следовательно, где - яркость на A _i и . Последнее утверждение очевидно n

Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножествA_i, i=1,...,N,поля зренияX.

Итак, пусть в согласии с леммой 3

, (5)

где, - индикаторная функция A_i, ,функция g_i(×) задает распределение яркости

(6)

в пределах A_i при постоянном цвете

, i=1,...,N, (7)

причем для изображения (5) цвета j_(i), i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g_(i), i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям i=1,.…..,N.

Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки , позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на A_i задается функцией а цвет на A_i равен

(7*)

Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

(8)

,

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого A_i, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f(×) (5), поскольку в изображении на некоторых различных подмножествах A_i, i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f(×) (5). Совпадение цвета на различных подмножествах A_i, i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения по сравнению с формой f(×) (5). Все изображения , имеющие различный цвет на различных A_i, i=1,...,N,считаются изоморфнымиf(×) (и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f(×). Если , то, очевидно, .

Если в (8) яркость , то цвет на A_i считается произвольным (постоянным), если же в точках некоторого подмножества , то цвет на A_i считается равным цвету на , i=1,...,N.

Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения , форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на A_i, i=1,...,N, тот же цвет, что и у то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости остаются произвольными (если , то цвет на A_i определяется равным цвету f(×) на A_i, i=1,...,N).

Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f(×) в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости при неизменном цвете j(x) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения

(9)

назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)¹0, m-почти для всех , (ср. 2). является линейным подпространством , содержащем любую форму

, (10)

в которой включение определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: , то - выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .

Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения.

Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения в том случае, когда считается, что для любого преобразования , действующего на изображение как на вектор в каждой точке и оставляющего элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле определяется как оператор наилучшего приближения изображения изображениями

где - класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что

(10*)

а - оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма . Характеристическим для является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого.

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения поля зрения X.

Задано разбиение , требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом . Рассмотрим задачу наилучшего приближения в цветного изображения f(×) (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение поля зрения X и требуется определить из условия

(11)

Теорема 1. Пусть . Тогда решение задачи (11) имеет вид

, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)

и искомое изображение (4) задается равенством

. (13)

Оператор является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****) изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах каждого A_i, i=1,...,N.

Черно-белый вариант (4*) цветного изображения(4) является наилучшей в аппроксимацией черно-белого вариантацветного изображенияf(×) (2),если цветное изображение(4) является наилучшей ваппроксимацией цветногоизображенияf(×) (2).Оператор , является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого .

В точках множествацвет(4**) наилучшей аппроксимации(4) цветного изображенияf(×) (2) являетсяцветом аддитивной смеси составляющихf(×)излучений, которые попадают на .

Доказательство. Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(×) на . Второе утверждение следует из равенства

, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на xÎX. ■

Замечание 1.Для любого измеримого разбиения ортогональные проекторыиопределяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом и различна для разных,(2).

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проекторна выпуклый замкнутый конус (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что (2). Дело в том, что оператор определяет форму изображения (4), а именно

- множество собственных функций оператора . Поскольку f(×) - наилучшее приближение изображения изображениями из , для любого изображения из и только для таких - . Поэтому проектор можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(×)

,(7) (2). И проектор можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах (2,3).

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если оператор наилучшего в приближения злементами выпуклого замкнутого (в и в ) конуса , то . Иначе говоря, для определения наилучшего в приближения элементами можно вначале найти ортогональную проекцию изображения на , а затем спроецировать в на . При этом конечномер